移動(dòng)機(jī)器人的線性自抗擾控制設(shè)計(jì)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

　　摘要: 為了實(shí)現(xiàn)移動(dòng)機(jī)器人的高精度軌跡跟蹤控制, 設(shè)計(jì)了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的擾動(dòng)抑制方法和相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái). 首先考慮到不確定擾動(dòng)如車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)對(duì)移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)控制性能的影響, 建立了受擾下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型; 然后基于擴(kuò)張后的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)系統(tǒng)擾動(dòng); 接著利用擾動(dòng)估計(jì)構(gòu)建了線性自抗擾控制器, 并利用Lyapunov函數(shù)證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 同時(shí), 基于Matlab/Simulink軟件和微控制器搭建了所推薦控制算法的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證平臺(tái). 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都驗(yàn)證了所提出控制方法的有效性.

　　關(guān)鍵詞: 移動(dòng)機(jī)器人; 軌跡跟蹤; 線性自抗擾控制; 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

　　王會(huì)明; 張揚(yáng); 王雪闖， 控制理論與應(yīng)用 發(fā)表時(shí)間：2021-11-18

　　1 引言

　　當(dāng)前移動(dòng)機(jī)器人已被廣泛地應(yīng)用于航天航空, 機(jī)場(chǎng)服務(wù), 倉(cāng)儲(chǔ)物流等各種重要領(lǐng)域, 軌跡跟蹤問題一直是移動(dòng)機(jī)器人控制研究的熱點(diǎn)之一 [1–3] . 為了讓移動(dòng)機(jī)器人達(dá)到高精度的跟蹤目的, 學(xué)者們提出了很多有效的控制方法, 如反步法控制 [4] , 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 [5–6] , 滑模控制 [7–8] , 自適應(yīng)控制 [9]等. 然而上面提到的這些控制算法都是建立在“純滾動(dòng)無滑動(dòng)”理想條件下的, 并沒有考慮實(shí)際運(yùn)行中擾動(dòng)對(duì)移動(dòng)機(jī)器人控制性能的影響. 因此當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人遭受各種嚴(yán)重?cái)_動(dòng)時(shí), 將會(huì)不可避免地影響其控制性能 [10] .

　　為了解決上述存在的問題, 文獻(xiàn) [11]針對(duì)車輪存在縱向滑動(dòng), 提出了一種自適應(yīng)非線性反饋控制器以補(bǔ)償擾動(dòng)影響實(shí)現(xiàn)了軌跡跟蹤的目的. 文獻(xiàn) [12]提出了一種級(jí)聯(lián)的控制器結(jié)構(gòu), 解決了在有界外擾和參數(shù)不確定性條件下的輪式移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤問題, 并且通過仿真驗(yàn)證了所提控制方法的魯棒性和有效性. 文獻(xiàn) [13]討論了輪式移動(dòng)機(jī)器人存在外部擾動(dòng)和慣性不確定性情況下的自適應(yīng)滑模軌跡跟蹤控制問題. 文獻(xiàn) [14]針對(duì)具有側(cè)向和縱向滑動(dòng)下的非線性離散時(shí)間移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)態(tài)系統(tǒng), 提出了一種基于強(qiáng)化學(xué)習(xí)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制跟蹤算法. 上述提到的控制策略都在一定程度上提高控制系統(tǒng)的跟蹤性能, 具有良好的擾動(dòng)抑制能力. 但是,上述方法普遍存在以下問題: 1) 控制器參數(shù)多, 調(diào)參困難; 2) 算法計(jì)算量大, 需要高性能的設(shè)備來配合，增加了硬件成本.

　　近些年來, 基于觀測(cè)器的抗擾控制方法由于具有眾多優(yōu)點(diǎn)得到了廣泛關(guān)注 [15–17]。常用的觀測(cè)器主要有滑模觀測(cè)器, 擾動(dòng)觀測(cè)器, 廣義比例積分觀測(cè)器, 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器等. 文獻(xiàn) [18]提出了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的自適應(yīng)跟蹤控制器, 解決了輪式移動(dòng)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型中存在不確定擾動(dòng)的問題, 有效地提高了控制系統(tǒng)的抗干擾能力. 文獻(xiàn) [19]設(shè)計(jì)了一種魯棒跟蹤控制策略, 該方法由基于滑模觀測(cè)器設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和非線性擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)的動(dòng)力學(xué)控制器組成, 解決了輸入干擾以及縱向與側(cè)向滑動(dòng)干擾下移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題. 應(yīng)該指出的是上述提到的這些擾動(dòng)觀測(cè)器都可以用來觀測(cè)系統(tǒng)擾動(dòng), 使用時(shí)可以根據(jù)所研究系統(tǒng)實(shí)際情況來選擇合適的觀測(cè)器.

　　本文主要研究不確定擾動(dòng)情況下輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤問題. 首先建立在車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)情況下移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型. 然后利用該模型設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來估計(jì)移動(dòng)機(jī)器人受到的各種擾動(dòng), 接著利用擾動(dòng)估計(jì)構(gòu)建軌跡跟蹤控制器, 同時(shí)給出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明過程. 最后仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本文提出的控制器能夠有效地抑制干擾對(duì)系統(tǒng)性能造成的不利影響, 使移動(dòng)機(jī)器人快速準(zhǔn)確地跟蹤上其參考軌跡.

　　2 移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型描述

　　如圖1所示, 定義XOY坐標(biāo)系為固定參考坐標(biāo)系, 移動(dòng)機(jī)器人配備了兩個(gè)主動(dòng)輪和一個(gè)從動(dòng)輪. 主動(dòng)輪通過電機(jī)給移動(dòng)機(jī)器人提供動(dòng)力, 可通過改變電機(jī)的輸入電壓調(diào)節(jié)速度, 達(dá)到調(diào)節(jié)移動(dòng)機(jī)器人位姿的目的. 從動(dòng)輪主要起到維持機(jī)器人平衡的作用. 關(guān)于圖中的符號(hào)做如下說明: r表示車輪的半徑, b表示車輪之間距離的一半(輪距), P表示車輪之間距離的幾何中心, C為移動(dòng)機(jī)器人的質(zhì)心, d表示P, C兩點(diǎn)之間的距離.

　　定 義 移 動(dòng) 機(jī) 器 人 的 完 整 位 姿為q = [x y θ ?r ?l ] T , 考慮其在實(shí)際運(yùn)行時(shí)由于地面濕滑、摩擦等原因受到縱向和側(cè)向滑動(dòng)擾動(dòng)影響, 輪式移動(dòng)機(jī)器人滿足下列非完整約束方程 [20]:

　　式 中, x和y表 示 移 動(dòng) 機(jī) 器 人 在 固 定 參 考 坐 標(biāo)系(XOY坐標(biāo)系) 下的坐標(biāo), θ表示方向角, ζ表示側(cè)向滑 動(dòng) 線 速 度, ?r和?l表 示 兩 主 動(dòng) 輪 的 角 位 移, ηr和ηl表示兩主動(dòng)輪的縱向滑動(dòng)角速度.

　　則受到車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)擾動(dòng)影響的輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型可描述為:

　　3 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

　　定義跟蹤誤差ex = x − xr, ey = y − yr, 結(jié)合公式(2)可得: [ e˙x e˙y ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ] [v ω ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] = [ u1 u2 ] − [ x˙ r y˙r ] + [ d1 d2 ] . (3) 式中， [ d1 d2 ] = [ −ςv cos θ + (dςω − ζ) sin θ −ςv sin θ − (dςω + ζ) cos θ ] . 假設(shè) 1 假設(shè)系統(tǒng)(3)中擾動(dòng)d1, d2的一階導(dǎo)數(shù)存在，且滿足條件∥[ ˙d1 ˙d2] T ∥ ≤ µ, µ ∈ R+.

　　3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

　　定 義x1 = ex, x2 = ey, xd1 = d1, xd2 = d2, 系統(tǒng)(3)可擴(kuò)張為如下形式：????????????? x˙ 1 = u1 − x˙ r + xd1 , x˙ d1 = ˙d1, x˙ 2 = u2 − y˙r + xd2 , x˙ d2 = ˙d2. (4) 根據(jù)上式可設(shè)計(jì)如下所示的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO): ????????????? ˙xˆ1 = u1 − x˙ r + ˆxd1 − β1(ˆx1 − x1), ˙xˆd1 = −β0(ˆx1 − x1), ˙xˆ2 = u2 − y˙r + ˆxd2 − γ1(ˆx2 − x2), ˙xˆd2 = −γ0(ˆx2 − x2). (5) 式中, xˆ1, xˆ2, xˆd1 , xˆd2 分別為x1, x2, xd1 , xd2 的估計(jì), β0, β1, γ0, γ1 > 0 為觀測(cè)器增益, βi , γi的配置原則分別 滿 足 使 特 征 多 項(xiàng) 式po1 = s 2 + β1s + β0, po2 = s 2 + γ1s + γ0 的根軌跡全部位于復(fù)平面s的左半平面 [21]

　　基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的擾動(dòng)估計(jì), 可設(shè)計(jì)線性自抗擾控制器為(LADRC) [21–22]: [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kxex − xˆd1 y˙r − kyey − xˆd2 ] . (6) 式中, kx, ky > 0 為控制器增益. 然后根據(jù)下式: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] . (7) 可得系統(tǒng)(2)中的v和ω.

　　3.2 穩(wěn)定性分析

　　將控制律(6)帶入到系統(tǒng)(3)中, 在設(shè)計(jì)的控制器作用下, 跟蹤誤差的動(dòng)態(tài)方程可寫為: { e˙x = −kxex − ed1 , e˙y = −kyey − ed2 . (8) 式 中, ed1 = ˆxd1 − d1, ed2 = ˆxd2 − d2. 將 式(5)減 去式(4), 可得觀測(cè)器的誤差動(dòng)態(tài)方程為: ????????????? e˙x1 = ed1 − β1ex1 , e˙d1 = − ˙d1 − β0ex1 , e˙x2 = ed2 − γ1ex2 , e˙d2 = − ˙d2 − γ0ex2 . (9) 定義下列變量E1 = [ex ey] T , E2 = [ex1 ed1 ] T , E3 = [ex2 ed2 ] T , 結(jié)合公式(8)和(9), 可得閉環(huán)系統(tǒng)誤差動(dòng)態(tài)方程為: E˙ = AE + D. (10)式中, E = ??? E1 E2 E3 ??? , A = ??? A1 B1 B2 0 A2 0 0 0 A3 ??? , D = ??? 0 B2 ˙d1 B2 ˙d2 ??? . A1 = [−kx 0; 0 − ky], A2 = [−β1 1; − β0 0], A3 = [−γ1 1; − γ0 0], B1 = [−1 0]T , B1 = [0 − 1]T . 由于A 為Hurwitz矩陣, 因此存在對(duì)稱正定矩陣P ∈ R6×6 , 使得AT P + P A = −I條件成立.

　　定理 1 對(duì)于受擾移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)(2), 在擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(5)和控制器(7)中參數(shù)選擇合適的情況下, 若系統(tǒng)(2)中的擾動(dòng)滿足假設(shè)1, 則系統(tǒng)跟蹤誤差將會(huì)漸近收斂至下面的有界區(qū)域 Z = {E|∥E∥ 2 ≤ µ 2λ 2 max(P ) λ 2 min(P )(1 − λmax(P))}.(11) 式中, λmin(P ), λmax(P )分別為正定矩陣P的最小, 最大特征值.

　　證明: 定義Lyapunov函數(shù)V (E) = ETP E, 對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)可得: V˙ (E) = 2E TP E˙ = 2E TP (AE + D) = −∥E∥ 2 + 2E T P D ≤ −∥E∥ 2 + 2λmax(P )∥E∥∥D∥ ≤ −∥E∥ 2 + λmax(P )∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 = −(1 − λmax(P ))∥E∥ 2 + λmax(P )∥D∥ 2 . (12) 由于 V (E) λmax(P ) ≤ ∥E∥ ≤ V (E) λmin(P ) . 將上式帶入到公式(12)中可得: V˙ (E) ≤ −( 1 λmax(P ) − 1)V (E) + λmax(P )∥D∥ 2 . 根據(jù)假設(shè)1可得上式的解 V (E) ≤ µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) + (V (0) − µ 2λ 2 max(P ) 1 − λmax(P ) ) × e −[ 1 λmax(P ) −1] . 則系統(tǒng)跟蹤誤差將會(huì)漸近收斂至有界區(qū)域(11). 證明完畢.

　　注 1 針對(duì)移動(dòng)機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題, 本文貢獻(xiàn)主要有三點(diǎn): 1) 建立了系統(tǒng)在各類擾動(dòng)影響下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型; 2) 給出了包括控制器(6) 和觀測(cè)器(5) 在內(nèi)的整個(gè)機(jī)器人閉環(huán)系統(tǒng)的詳細(xì)穩(wěn)定性證明過程; 3) 后續(xù)的仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試驗(yàn)證了所提控制方法的有效性.

　　4 仿真與實(shí)驗(yàn)測(cè)試

　　為了顯示所推薦控制方法的優(yōu)點(diǎn), 我們給出了其與傳統(tǒng)PI控制方法的仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果. 測(cè)試中用到的PI 控制器設(shè)計(jì)如下: [ v ω ] = [ cos θ − d sin θ sin θ d cos θ ]−1 [ u1 u2 ] , (13a) [ u1 u2 ] = [ x˙ r − kP1 ex − kI1 ∫ t 0 exdτ y˙r − kP2 ey − kI2 ∫ t 0 eydτ ] . (13b) 式中, kP1 , kP2 , kI1 , kI2 > 0 為控制器增益. 仿真和實(shí)驗(yàn)測(cè)試中用到的參考軌跡為 [23]: xr = cos(0.1t), yr = sin(0.1t) cos(0.1t), θr = tanh(¨yr/x¨r). 其 中, tanh(∗)表示反正切函數(shù), θr ∈ [−π π]. 測(cè)試用的移動(dòng)機(jī) 器 人 平 臺(tái) 的 物 理 參 數(shù) 為: r = 0.0625 m, b = 0.1645 m, d = 0.1 m.

　　4.1 仿真測(cè)試

　　假設(shè)移動(dòng)機(jī)器人在前30 s未受到外界擾動(dòng)影響, 30 s之 后 受 到 如 下 形 式 的 外 加 擾 動(dòng): d1 = −d2 = −0.1 sin(0.02πt) (30 s ≤ t < 70 s), d1 = d2 = 0 (70 s ≤ t ≤ 100 s). 在該仿真實(shí)驗(yàn)中, 假 設(shè) 移 動(dòng) 機(jī) 器 人 的 初 始 位 姿為q(0) = [−0.2 0.2 0 0 0]T , 推薦控制器的增益選 為kx = ky = 0.5, β0 = γ0 = ρ 2 , β1 = γ1 = 2ρ, ρ = 2.5; PI 控 制 器 參 數(shù) 設(shè) 置 為: kP1 = kP2 = 1, kI1 = kI2 = 0.25, 仿真步長(zhǎng)設(shè)置為0.01 s.

　　仿真結(jié)果如圖2-3所示, 圖2分別描述了在所推薦控制方法和傳統(tǒng)PI控制方法作用下移動(dòng)機(jī)器人的參考位置和實(shí)際位置, 位置跟蹤誤差, 航向角跟蹤以及線速度和角速度變化曲線, 圖3給出了所提控制方法中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的估計(jì)曲線. 從圖2b(1)與圖2b(2)中可以看到, 當(dāng)移動(dòng)機(jī)器人受到外部擾動(dòng)影響時(shí), 與傳統(tǒng)的PI控制算法相比, 本文提出的控制算法可以使機(jī)器人獲得更小的跟蹤誤差, 這表明所提的控制算法具有很好的跟蹤性能和較強(qiáng)的干擾抑制能力.

　　需要指出的是由于我們研究的移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)微分平坦的系統(tǒng), 根據(jù)微分同胚映射, 狀態(tài)θ可以由系統(tǒng)的平坦輸出(x, y) 來表示. 因此只要能夠保證實(shí)際位置(x, y)跟蹤上其參考位置(xr, yr), 狀態(tài)θ就可以在一定誤差范圍內(nèi)跟蹤上θr, 這一點(diǎn)也可以通過圖2c的測(cè)試結(jié)果得到驗(yàn)證. 關(guān)于移動(dòng)機(jī)器人微分平坦屬性的詳細(xì)介紹及相應(yīng)的控制器設(shè)計(jì)思路, 可以參考文獻(xiàn) [24].

　　4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

　　圖4是用于算法驗(yàn)證的移動(dòng)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái), 該移動(dòng)機(jī)器人主要由微控制器, 直流減速電機(jī), 電池, 車輪以 及 鋁 合 金 的 車 身 組 成. 微 控 制 器 的 型 號(hào)為STM32F103RCT6, 該控制器運(yùn)行底層電機(jī)速度控制算法. 兩臺(tái)24V直流減速電機(jī)為機(jī)器人提供動(dòng)力, 可通過500線光電編碼器測(cè)量轉(zhuǎn)速信息. 圖5是系統(tǒng)整體框架圖, 該系統(tǒng)主要由搭載微控制器的移動(dòng)機(jī)器人和執(zhí)行Matlab/Simulink的計(jì)算機(jī)兩部分組成. 首先, 微控制器利用串口外設(shè)接收Matlab/Simulink發(fā)來的控制指令(線速度和角速度), 并隨即將控制指令轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的左, 右輪直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令, 同時(shí)又可以利用定時(shí)器外設(shè)以定時(shí)采樣的方式得到兩編碼器的增量值, 計(jì)算兩臺(tái)直流電機(jī)的實(shí)際轉(zhuǎn)速; 然后, 通過兩直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速信息可計(jì)算出當(dāng)前時(shí)刻的線速度和角速度, 并且采用基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的里程計(jì)算法推算出當(dāng)前位置(通過串口發(fā)送到Matlab/Simulink); 最后, 運(yùn)行底層電機(jī)控制算法的微控制器利用直流電機(jī)的轉(zhuǎn)速指令和實(shí)際轉(zhuǎn)速之間的差值計(jì)算出PWM信號(hào), 將該信號(hào)作用到直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)器上, 實(shí)現(xiàn)速度調(diào)節(jié)的功能.

　　在該實(shí)驗(yàn)測(cè)試中, 移動(dòng)機(jī)器人的初始位姿設(shè)置為q(0) = [0 0 0 0 0]T , 實(shí)驗(yàn)中推薦控制器和PI控制器的參數(shù)設(shè)置分別與仿真測(cè)試時(shí)相同. 兩種控制方法的采樣控制周期都設(shè)置為0.01 s. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6-7所示, 分別描述了在兩種控制方法下移動(dòng)機(jī)器人在X軸和Y軸方向的軌跡跟蹤效果, 線速度和角速度的跟蹤效 果 以 及 對(duì) 擾 動(dòng) 的 估 計(jì) 結(jié) 果. 根 據(jù) 圖6b(1)和圖6b(2)的位置跟蹤誤差曲線可以看出, 在機(jī)器人穩(wěn)態(tài)運(yùn)行至30 s時(shí)施加擾動(dòng)，所推薦控制方法的跟蹤誤差范圍±0.05 m明顯小于PI控制方法的跟蹤誤差范圍±0.1 m. 結(jié)果表明本文提出的控制方法具有較好的抗干擾能力.

　　注 2 通過比較本文所推薦的控制器(4)-(7)和PI 控制器(13)可以看出, 本文所設(shè)計(jì)的控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單, 調(diào)參數(shù)量少(調(diào)參數(shù)量與PI 控制器的數(shù)量相同都只有兩個(gè)). 同時(shí)與已有研究成果 [11–14]相比, 所推薦方法由于使用ESO來實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)的估計(jì)系統(tǒng)干擾, 不需要設(shè)計(jì)計(jì)算量較大的自適應(yīng)或者強(qiáng)化學(xué)習(xí)機(jī)制, 因而可以有效降低系統(tǒng)計(jì)算負(fù)擔(dān).

　　5 結(jié)語(yǔ)

　　為了解決移動(dòng)機(jī)器人在干擾情況下的軌跡跟蹤控制問題, 首先, 建立起移動(dòng)機(jī)器人在車輪縱向和側(cè)向滑動(dòng)情況下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型; 其次, 根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)擾動(dòng)的估計(jì), 提出了一種基于線性自抗擾的軌跡跟蹤控制方法; 然后, 通過定義的Lyapunov函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性; 最后, 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都驗(yàn)證了所提控制方法的有效性和魯棒性. 為了進(jìn)一步提高移動(dòng)機(jī)器人的跟蹤性能, 接下來我們將利用高性能的微控制器來設(shè)計(jì)和驗(yàn)證基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的自抗擾控制算法和滑模控制算法.