落實數學核心素養主題教學視角下的函數奇偶性學習難點分析

　　摘 要: 在《普通高中數學課件標準( 2017 年版) 解讀》中指出: “主題教學與單元教學、項目學習、深度學習的含義一致，是相對課節教學而言的，就是從關注一節課、一節課的教學到關注想( 一個單元、一章、一個主題) 的教學。”主題教學是促進數學學科核心素養連續性和階段性發展的有效、實效、高效的教學方式和觀念的革新。對于主題教學從廣大一線教師的反饋來看，雖然可以理解原理，但是在具體的實施框架中難以形成具有核心視角的總體設計。

　　本文源自郭磊; 單銘鼎， 考試周刊 發表時間：2021-05-17 《考試周刊》雜志，于2007年經國家新聞出版總署批準正式創刊，CN:22-1381/G4，本刊在國內外有廣泛的覆蓋面，題材新穎，信息量大、時效性強的特點，其中主要欄目有：藝術教學與研究、班級管理、幼教天地等。

　　關鍵詞: 核心; 教學; 函數

　　函數奇偶性概念在函數內容中處于核心地位，一直是教學研究的重點，然而在教學中多以單課時備課，教學設計與實施過于傳統刻板，未見從主題教學視角創新實踐教學模式。

　　文章將函數奇偶性實際內容作為載體，綜合本校改革實踐，以該課題概念理解難點為著眼點，立足主題教學視野進行備課詮釋，總結設計、實施可行性做法，闡述采用主題教學手段破解學習難點的應用要點。

　　一、函數奇偶性學習的難點及原因

　　學生在學習函數奇偶性時都會有一定的感性認識，但缺乏深度的理性認識。首先學生對奇偶性概念中的“任意 x∈I，為什么要有，都有 - x∈I”難以獲得實質性理解，其次是為什么要判斷 f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0，再次是 f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0 等等價定義的理解。

　　( 一) 沒有立足教學宏觀視角理解奇偶性本質

　　收集教學參評課并對研究課視頻進行資料解讀分析后，尋找此類教學文獻，經研究發現，教學設計多局限于單課時設計，未從宏觀維度對學習難點予以分解。教學實踐進行中概念理解不足，在第二課時的教學上，基本上是奇偶性相關考題的解題訓練，與奇偶性概念理解實質關系不大。

　　( 二) 學生學習函數奇偶性的困難認識不足

　　在函數奇偶性的教學中，多是高三教師剛剛送完畢業班，而學生是剛剛從初中升入高中，教師個人認為的學生認知水平和學生的實際認知水平有非常大的差異。實際上函數奇偶性的難點并非可通過單課時解決的問題，想要初步理解，至少需要 2 ～ 3 個課時起步，即使如此也無法達到完全理解預期。甚至對于很多抽象函數奇偶性的證明，教師也難以給出完整的證明。

　　( 三) 對函數奇偶性的教育價值認知缺陷

　　研讀教師訪談后可知，教師在此課程概念學習中對教育價值認知存在缺陷，受此影響，上數學課思想方法滲透不足。而函數的奇偶性與數學抽象的數學核心素養密切相關，更為密切的是直觀想象。在實際授課中，函數奇偶性是以邏輯嚴謹性訴求為基本動因形成定義，因此要求學生從直觀感知到理性符號證明，唯一的途徑就是通過邏輯論證加以確認。

　　函數的奇偶性概念中蘊含常量于變量、動靜關系以及有限和無限等相關辯證思想，應用概念應對問題，做出概念判斷、條件分析、問題求解或證明相關奇偶性命題時，通常對直觀想象能力有要求，在直觀想象幫助下獲得思維啟示，做出相應猜想。因此，在概念學習全周期，包括學習、理解、運用等環節，應明確基本思想，形成思維活動經驗，輔助后續學習，應鍛煉思維與思辨能力，提升數學抽象以及邏輯推理水平、培養直觀想象素養，這些素養也是數學學科學習的重要載體。

　　( 四) 程序與技能缺少概念性解讀

　　本學科知識體系核心特點之一即為以概念、概念關系構建體系，因此可將數學視為一門闡述概念關系的語言，然而傳統教學多側重事實性技能。在此學科教學中多側重解讀奇偶性定義，通過定義對奇偶性程序、技能進行證明，造成學生對如何“做”過度關注，未能理解要這樣“做”的根本原因。雖然學生可從行為方面模仿例題進行證明，但未必理解證明的操作程序如何成為證明。所以主題教學更能使學生的關注點轉移到函數奇偶性概念的形成與發展上。

　　二、從主題教學維度整體解讀教學內容是易化學生難點的有效途徑

　　主題教學重視教學的系統性，是立足課程整體來凝聚主題，以主題核心概念來聚合主題內的各個知識，聚焦核心概念理解構建核心問題，圍繞核心問題的研究展開的教學活動。

　　所謂的概念性視角，即通過關注概念來處理事實性知識。從一個概念的形成和發展過程看，概念是不能給予的，要在事實積累、辨別過程中形成，概念界定只可作為概念形成發展基礎。對概念學習理解持續深入過程，也是對概念認知的思維固定模式“破”與 “立”過程中的螺旋式循環往復。

　　( 一) 初中學習為事實性層面

　　初中學習以后，學生認知函數奇偶性的層面局限于直觀觀察現象，以此為基礎感知事實層面，未抵達概念層面。

　　( 二) 初、高中之間具有函數奇偶性的概念性理解層面

　　概念性思考即使用已有概念去概況性地界定描述事實。

　　( 三) 問題是推動概念發展的原動力

　　初中對 y = x 2 的直觀感知，是學生對對稱性的低層次理解，但為什么對稱是很多學生并不理解的，這個問題是學生深入理解概念的原動力，是從事實層面到概念層面的有效途徑。

　　( 四) 理解“任意”背后的思維觀念

　　只有在對變化過程中描述兩個取值狀態，并非函數變化的過程。基于此原因應促使兩個取值狀態處于運動狀態，進而確保對函數變化中任一組取值狀態進行解讀，因此要求賦予取值存在任意性。“任意” 促使自變量取值運動，在研究集合中每一組數值運動，實現對函數變化的完整描述。

　　三、函數奇偶性把握多元化視角

　　( 一) 立足上下位的概念體系

　　想要理解函數奇偶性，應以函數性質為范疇進行，同時理解函數性質理解應以函數的范疇為基礎，函數概念應從數量關系范疇中加以解讀。

　　( 二) 從函數關系中把握奇偶性

　　函數性質的本質即為函數變化規律。分析從變量與關系等基本概念，以其為起點可深入認識函數性質。研究函數變化規律皆將明確自變量范圍當作前提條件，這一點取決于研究對象的基本屬性。

　　( 三) 從函數性質角度學習奇偶性

　　函數性質實際為函數關系中兩變量屬性特點聯系。f( - x) = f( x) 與 f( - x) - f( x) = 0 即函數奇偶性可轉化自變量與函數值大小關系。假設從高中課程全局分析，這一本質表達存在更深刻內涵，從“相等” 的形式可與“差”或“和”的概念產生聯系。

　　( 四) 立足數學精神、思想層面學習奇偶性概念

　　數學對象研究通常以定性的認識為起點，最終深入到定量精細化分析，此為數學精神。

　　四、主題教學方案設計，易化學習難點

　　( 一) 凝練主題，明確核心問題

　　設計主題“探索函數的變化規律”，以“自變量 x 發生變化時函數值 f( x) 由其引起的變化”為核心問題設計主題課程。

　　( 二) “探索函數的變化規律”主題教學設計

　　主題: 分析函數變化規律。明確核心問題: 自變量 x 的發生變化時將引起函數值 f( x) 的變化表現。子主題設計為: 單調性、奇偶性、最值、零點、周期性、變化率、極值、漸進性。函數零點概念未研究自變量取值“任意性”，其他皆予以研究，因而‘任意性’理解難點被分解，在其他子主題中分散研究。所述子主題貫穿高一、高二階段，此外與“任意”理解相關課程也較多。

　　( 三) 函數奇偶性主題教學的活動設計

　　子主題課時規劃: 函數奇偶性概念的形成與理解

　　第一課時: 形成奇偶性概念并獲得初步理解

　　直觀化的描述性定義 形式化定量刻畫定義運用概念證明奇偶性

　　第二課時: 覺察概念理解的局限性，修正完善概念理解

　　厘清奇偶性概念中的兩變量的關系 理解自 →變量取值的“任意性”的本質

　　第一課時具體教學活動框架:

　　①觀察函數的變化規律: 體驗函數的原初價值; ②聚焦并描述定義奇偶性; ③尋求奇偶性的理性判斷與理解: 以問題促進學生發現描述性定義的局限性，認識理解數學學科的價值取向，邏輯確認; ④形式化定義奇偶性: 讓不可見變為可見，實現判斷的算法化; ⑤用奇偶性概念證明: 運用概念，解決問題。

　　第二課時具體教學活動框架:

　　①奇偶性概念回顧: 解釋奇偶性是什么? 從形成定義的過程認識到什么? 其價值與意義是什么? ②用奇偶性做一些以前不能做的事情: 聚焦難點設計多項挑戰性任務; 函數奇偶性概念的深化理解: 積累形成用奇偶性定義思考的經驗，感悟函數奇偶性新認識帶來的諸多價值。

　　( 四) 主題教學事實

　　在主題教學中，應體現教師的紐帶作用，將學生經驗系統聯結主題知識系統，成為橋梁，應著眼核心概念理解，對主題核心問題加以凝練，同時選擇具體適當情境進行分析，引導學生展開學習活動，實現對學生學習經驗的多層組織與發展。

　　在此過程中應關注以下幾點: ①從學生既往經驗出發設情境、提問題; ②要促進知識的價值認同; ③在活動中要先“察”而“后”行; ④教師應聚焦學生理解層面認知誤區和相關觀點，舉辦辯論與解釋活動; ⑤組織關鍵節點問題群體討論。

　　主題教學是體現數學核心的有效手段，是提升數學能力的有效方式，面對新課程標準的修訂和新高考的改革，以主題教學為核心的創新性教學方式必將起到更大的作用。