骰子模型中和概率的計算研究分析

　　摘要：概率論中的骰子模型在許多領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用，本文研究投擲多次骰子時，點數(shù)之和的概率計算問題.應(yīng)用生成函數(shù)法得上述問題簡潔的概率計算公式，并考慮它的推廣情形，最后給出幾個計算的例子.

　　本文源自牡丹江師范學院學報(自然科學版),2020(03):7-9+74.《牡丹江師范學院學報》(自然科學版)(季刊)創(chuàng)刊于1975年，是由黑龍江省教育廳主管、牡丹江師范學院主辦、國內(nèi)外公開發(fā)行的綜合性學術(shù)期刊(季刊)。主要欄目：數(shù)學、物理、化學、生命科學、黑龍江省農(nóng)林研究、地理科學、計算機理論及應(yīng)用、體育理論研究、教育理論研究等欄目。本刊堅持社會主義辦刊方向，貫徹黨的“百花齊放，百家爭鳴”方針，堅持嚴謹科學，求實創(chuàng)新，大膽探索的辦刊方針，鼓勵理論和經(jīng)驗研究相結(jié)合的學術(shù)取向，提倡學術(shù)批評和交鋒。

　　骰子模型有著廣泛的應(yīng)用.[1,2,3,4]蘇有菊和魏首柳應(yīng)用列舉法、生成函數(shù)方法、母函數(shù)法、組合數(shù)法給出了投擲次數(shù)為2次或3次，點數(shù)之和為7或9時概率的具體計算例子.[5,6]本文將對生成函數(shù)法展開深入探討，給出一個結(jié)構(gòu)優(yōu)美的計算公式，進一步給出任意面體的推廣“骰子”，在n次投擲后的點數(shù)之和為m的概率計算公式.

　　1、主要結(jié)論

　　假設(shè)一個傳染源在一個周期內(nèi)傳染的個體數(shù)可能是1個、2個直到6個，且假設(shè)等可能的，即每個概率均為.n個這樣的傳染源在一個傳染周期內(nèi)，有m個個體被傳染上的概率是多少?這個問題可以被抽象為一個骰子被投擲n次，點數(shù)之和為m的概率.這是一種在傳染病傳播研究中一種非常有用的短期模型———骰子模型.應(yīng)用生成函數(shù)和冪級數(shù)展開，給出n次投擲骰子過程中點數(shù)之和概率計算的一個簡潔定理，并考慮它的推廣情形.

　　定理1設(shè)有一個均勻的骰子，對其投擲n次，得到點數(shù)之和為m的概率為

　　其中m-n-6a≥0,a滿足不等式的最大非負整數(shù).

　　1. 證明首先，構(gòu)造一個多項式的n次方，m次方項的系數(shù)即為在n次投擲過程中，點數(shù)之和為m的組合數(shù).

　　對最后一項應(yīng)用冪級數(shù)展開得

　　在n次的投擲實驗中，出現(xiàn)的次數(shù)為m，分成以下情況討論：

　　2. 第一項取xn，第二項取Cn1(-x6)1，第三項取

　　3. 第一項取xn，第二項取Cn2(-x6)2，第三項取

　　綜合1,2,3,4所得到的結(jié)論，可以看出次數(shù)為m的組合數(shù)為

　　其中，m-n-6a≥0.a滿足不等式的最大非負整數(shù).

　　按古典概型的計算公式，其概率為該組合數(shù)除以樣本點總數(shù).點數(shù)m為的概率為：

　　定理2設(shè)有一個k個面的均勻的骰子，對其投擲n次，得到點數(shù)之和為m的概率為，其中m-n-ka≥0,a滿足不等式的最大非負整數(shù).

　　證明類似定理1，此處不再贅述.

　　2、數(shù)值例子

　　例1設(shè)3次投擲骰子，點數(shù)和為9的概率.[5]

　　解m=9,n=3,9-3-6a≥0,a的取值為1,

　　例2設(shè)3次投擲骰子，點數(shù)和為8的概率.[6]

　　解m=8,n=3,8-3-6a≥0,a的取值為0,

　　例3設(shè)3次投擲骰子，點數(shù)和為7的概率.[5]

　　解m=7,n=3,7-3-6a≥0,a的取值為0,

　　上述結(jié)論與文獻[5,6,7]中完全一致.

　　參考文獻：

　　[1]李光正.從隨機試驗到隨機過程的概念演化[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(4):7-9.

　　[2]劉常彪,李臻臻.關(guān)于泊松分布高階矩的一些研究[J].牡丹江師范學院學報:自然科學版,2014(2):5-6.

　　[5]蘇有菊.論概率論與數(shù)理統(tǒng)計中“骰子”問題的概率[J].普洱學院學報,2017,33(6):21-23.

　　[6]魏首柳.概率論與數(shù)理統(tǒng)計中“骰子”問題的概率探討[J].南陽師范學院學報,2011,10(3):18-20.

　　[7]屈婉玲,耿蘇云,張昂立.離散數(shù)學[M].北京:清華大學出版社,2008.56-72.