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關(guān)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法的最優(yōu)消費(fèi)路徑

2021-4-9 | 宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)論文

有些學(xué)者從微觀經(jīng)濟(jì)理論的角度探索消費(fèi)和投資的最優(yōu)比率。例如,Phelps構(gòu)建了不確定收入下的最優(yōu)消費(fèi)率[2]。基于這一模型,Merton以布朗運(yùn)動(dòng)模擬不確定收益,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃建模的方式,求出在連續(xù)時(shí)間假設(shè)下獲得最大消費(fèi)效用的消費(fèi)和資產(chǎn)投資組合[3]。然而Merton的模型采用了Pratt的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度(absolute risk aversion)[4],即假設(shè)投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好是和年齡、財(cái)富無(wú)關(guān)的常數(shù),從而把家庭總財(cái)富比率設(shè)計(jì)成常數(shù)。為了改進(jìn)過(guò)于嚴(yán)格的常系數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡假設(shè),Farhi和Pan-ageas假設(shè)投資者可以通過(guò)控制退休時(shí)間來(lái)調(diào)整勞動(dòng)供給,從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)消費(fèi)和投資[5]。另外有些學(xué)者拓展了Merton等人的模型,如Hakansson和Richard研究了存在保險(xiǎn)時(shí)的生命周期最優(yōu)消費(fèi)[6][7];Karatzas使用鞅方法研究了個(gè)人如何選擇消費(fèi)率來(lái)實(shí)現(xiàn)消費(fèi)和財(cái)富效用最大化[8];Bodie等人探討了退休期間的最優(yōu)消費(fèi)投資問(wèn)題[9]。有些學(xué)者則從宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度闡述消費(fèi)和投資對(duì)消費(fèi)效用最大化的影響。李嘉圖的古典消費(fèi)理論強(qiáng)調(diào)了消費(fèi)對(duì)經(jīng)濟(jì)的刺激。凱恩斯絕對(duì)收入假說(shuō)認(rèn)為消費(fèi)主要取決于當(dāng)期絕對(duì)收入,平均消費(fèi)傾向(APC)隨收入增加而減少。按此假說(shuō),一戰(zhàn)后,美國(guó)人民收入增加,儲(chǔ)蓄應(yīng)隨之增加。但是,Kuznets實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)戰(zhàn)后儲(chǔ)蓄并未增加,長(zhǎng)期APC穩(wěn)定[10]。為解析上述矛盾現(xiàn)象,Duesenberry提出相對(duì)收入假說(shuō),家庭會(huì)比較其他家庭的收入,即相對(duì)水平,來(lái)決定自己的消費(fèi)水平[11](P3)。相對(duì)收入假說(shuō)的缺陷在于家庭的消費(fèi)是短視行為,沒(méi)有考慮未來(lái)收入。為克服相對(duì)收入假說(shuō)存在的問(wèn)題,Friedman提出了家庭將根據(jù)終生收入來(lái)決定消費(fèi)的持久收入假說(shuō)[12](P26-135)。內(nèi)生增長(zhǎng)理論被廣泛用于分析投資和消費(fèi)的最優(yōu)分配。該理論假設(shè)在生產(chǎn)過(guò)程中的規(guī)模收益不變,即凸性生產(chǎn)技術(shù),經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的決定因素是生產(chǎn)要素,生產(chǎn)率是由模型內(nèi)生所決定的,而不是由資源、人口等外部因素決定。典型的內(nèi)生增長(zhǎng)模型有AK模型、Rebelo模型等[13]。

曾經(jīng)有人質(zhì)疑AK模型是否可以用來(lái)評(píng)估經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)。Jones建立了技術(shù)為常數(shù)的AK模型,對(duì)函數(shù)關(guān)于物質(zhì)資本和人力資本求最大值,并基于1950~1988年加拿大、法國(guó)、德國(guó)等15個(gè)OECD國(guó)家的時(shí)間序列數(shù)據(jù),研究發(fā)現(xiàn)戰(zhàn)后投資額同經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)無(wú)關(guān),并由此推斷AK模型對(duì)投資和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)關(guān)系的預(yù)測(cè)是短期的或不正確的[14]。為了反駁AK模型不適用于研究經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的結(jié)論,McGrattan建立了技術(shù)為常數(shù)的AK模型,對(duì)函數(shù)關(guān)于消費(fèi)和資本求最大值。McGrattan用1870~1989年11個(gè)國(guó)家的數(shù)據(jù)驗(yàn)證了投資率和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間的正相關(guān)關(guān)系,證明政府投資誘導(dǎo)政策會(huì)永久性影響經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)[15]。McGrat-tan發(fā)現(xiàn)Jones之所以用AK模型測(cè)不出投資和經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的相關(guān)性,一是數(shù)據(jù)期限短,二是模型設(shè)計(jì)存在缺陷。McGrattan的模型假設(shè)如下:(1)代表性家庭選擇投資和消費(fèi),從而實(shí)現(xiàn)生命周期效用最大化;(2)家庭有兩種資本,分別是結(jié)構(gòu)資本和設(shè)備資本,家庭收入來(lái)源于把結(jié)構(gòu)資本和設(shè)備資本租給公司的租金;(3)家庭收入要向政府繳納稅收,因此政府政策可以影響投資產(chǎn)出比和勞動(dòng)閑暇選擇。這樣一來(lái),McGrattan就解釋了Jones觀察到的投資增加而產(chǎn)出穩(wěn)定的短期離差,并從理論和實(shí)證角度驗(yàn)證了AK模型的有效性。本文在持久收入假設(shè)和內(nèi)生增長(zhǎng)理論框架下,研究經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的最優(yōu)消費(fèi)投資比率,從理論上指導(dǎo)國(guó)民收入的合理分配。之所以選擇資本產(chǎn)出彈性為單位彈性的AK模型,是因?yàn)橘Y本對(duì)發(fā)展中國(guó)家很重要。發(fā)展中國(guó)家可以通過(guò)購(gòu)買技術(shù)先進(jìn)的國(guó)家的設(shè)備得到知識(shí),這種由投資帶來(lái)的技術(shù)溢出可以加速整個(gè)國(guó)家的現(xiàn)代化。另外,由于行業(yè)間存在溢出效應(yīng),當(dāng)資本提高某個(gè)行業(yè)的生產(chǎn)率時(shí),與之相關(guān)行業(yè)的生產(chǎn)率也隨之提高[16],所以不僅要考慮資本對(duì)單個(gè)行業(yè)的作用,還需要考慮資本的社會(huì)回報(bào)。Ljungqvist和Sargent建立的AK模型與本文有類似的目標(biāo)函數(shù)yt=Akαt,也猜測(cè)了相同的值函數(shù)形式,并得到了類似的策略函數(shù)[17],但本文與之不同的是:第一,他們假設(shè)資本產(chǎn)出彈性大于零而小于1(0<α<1),從而使資本邊際效用遞減,通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)資本收斂,而本文假設(shè)資本產(chǎn)出彈性等于1(α=1),從而使資本沒(méi)有邊際效用遞減,通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)資本不收斂,而值函數(shù)收斂;第二,本文考慮了資本折舊;第三,本文通過(guò)真實(shí)數(shù)據(jù),再現(xiàn)改革開(kāi)放以來(lái)消費(fèi)和投資對(duì)提高社會(huì)效用的貢獻(xiàn)。本文余下部分的結(jié)構(gòu)安排如下:第二部分建立包含資本折舊率和貼現(xiàn)因子的最優(yōu)消費(fèi)模型,通過(guò)猜解求出策略函數(shù),討論了消費(fèi)、資本積累序列的意義,并通過(guò)求導(dǎo)分析了各變量對(duì)值函數(shù)的影響;第三部分比較了不同貼現(xiàn)因子下的值函數(shù),并用三維效果圖展示了1978~2010年中國(guó)消費(fèi)、資本和值函數(shù)的演變關(guān)系;最后是本文的結(jié)論。

模型

本文考慮生產(chǎn)單一商品的經(jīng)濟(jì),此商品既可消費(fèi)又可投資,投資以資本的形式體現(xiàn),消費(fèi)品和資本品可以相互轉(zhuǎn)換。消費(fèi)數(shù)量和消費(fèi)投資比決定代表性行為人的效用,社會(huì)計(jì)劃者的目標(biāo)是通過(guò)政策引導(dǎo)消費(fèi)路徑,使代表性行為人在任意時(shí)期都能獲得最大效用。經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)由資本驅(qū)動(dòng),因此設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為yt=Akt,其中A反映技術(shù)水平,yt、kt和ct分別表示在時(shí)期t的生產(chǎn)量、資本存量和消費(fèi)。對(duì)于任意t期,有ct≥0,kt≥0;且初始資本k0已知。由此,可得模型:max∑!t=0βtln c(t)s.t.kt+1=yt+1-(δ)kt-ct,  yt=Ak???睿簦ǎ保┢渲?delta;為資本折舊率,0≤δ≤1;β為貼現(xiàn)因子,0<β<1;βtln c(t)是消費(fèi)效用。式(1)是終生消費(fèi)效用,資本積累規(guī)則為下期資本的數(shù)量取決于本期的有效商品總供給和本期的消費(fèi)。令f k(t)=Akt+1-(δ)kt=(A+1-δ)kt表示包含資本折舊的有效商品總供給,則式(1)可轉(zhuǎn)化為:max∑!t=0βtln c(t)s.t.kt+1=f (kt)-ct,f (kt)=(A+1-δ)k???睿簦ǎ玻┦劍ǎ玻┠勘旰??暮?迨譴?硇孕形?俗非笠簧??訓(xùn)奶?中в米畬蠡??渲邢?眩悖羰強(qiáng)刂票淞浚?時(shí)荊耄粑?刺?淞俊S稍際?跫?耄簦?保劍妗。ǎ耄簦??悖簦?傻茫悖簦劍妗。ǎ耄簦??耄簦?保?純刂票淞靠殺硎疚?刺?淞康暮??G笫劍ǎ玻┑淖鈑漚猓?褪竊詬?ㄔ際?跫?攏?業(yè)揭桓鑾〉鋇男蛄校悖簦?耄?簦?保?t=0,使目標(biāo)函數(shù)∑!t=0βtln (ct)取得最大值。(一)猜解求值函數(shù)和策略函數(shù)為方便求極值,將式(2)由離散形式轉(zhuǎn)化為連續(xù)形式,并定義值函數(shù)()V k為投資者在給定財(cái)富下所能達(dá)到的期望終生總效用。在競(jìng)爭(zhēng)性均衡中投資者的效用得到了最大化,則根據(jù)漢密爾頓-雅可比-貝爾曼方程(Hamilton-Jacobi-Bellman equation,HJBE)可得:()V k=maxk'()ln [f k-k]'+β{V (k)}'()=ln [f k-g(k)]+βV [g(k)](3)式(3)中,k是當(dāng)前時(shí)期的資本存量(相當(dāng)于kt),k'是下一時(shí)期的資本存量(相當(dāng)于kt+1)。g(k)是利用HJBE進(jìn)行遞歸迭代的策略函數(shù),且g(k)=k',表示計(jì)劃者面臨的決策為:究竟是應(yīng)該用政策引導(dǎo)代表性行為人當(dāng)期多消費(fèi)一些,還是當(dāng)期少消費(fèi),留作下一期的資本,從而使下一期能消費(fèi)更多。()V k和g(k)都是連續(xù)可微的。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論,可猜測(cè)值函數(shù)的形式為:()()V k=E+Fln k(4)其中,E、F是待定常數(shù)。對(duì)式(3)和(4)計(jì)算一階最優(yōu)的必要條件,并根據(jù)式(2)可得:g(k)=k'=βF A+1-(δ)k1+βF(5)()c=f k-k'=A+1-(δ)k1+βF(6)式(5)是策略函數(shù)g(k)關(guān)于k的顯式解,F是待定系數(shù)。(二)最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列令n=1,式(3)變成式(7)。由式(2)可知當(dāng)t=1時(shí),以下兩式成立:V1()k=maxk'()ln f k-k[]'(7)V1()k=maxk'()ln f k-k[]'+βV0k()'(8)式(7)是目標(biāo)函數(shù)(2)的最大值,即社會(huì)計(jì)劃者最優(yōu)問(wèn)題中的值函數(shù);式(8)表示代表性行為人一生的效用貼現(xiàn)值等于當(dāng)期效用、未來(lái)效用的貼現(xiàn)值之和。當(dāng)期消費(fèi)和期末資本的選擇c,k{}'產(chǎn)生了當(dāng)期效用ln(c),下期的資本k'將按照策略函數(shù)g(k)來(lái)選擇。此處可獲得的最大期望效用是V k()',而k'的貼現(xiàn)值為βV0k()'。類似的,利用式(5)、式(3)逐期遞歸迭代可得到值函數(shù)Vn()k序列。對(duì)任意t期,有:Vn()k=∑n-1i=1(β)i-1 lnA+1-δ1+β()F+βn-1ln (A+1-δ)+    ∑n-1j=1j(β)j lnβF A+1-(δ)1+β[]F+∑ns=1(β)s-1()ln k由于0<β<1,根據(jù)級(jí)數(shù)理論容易證明:當(dāng)n→!時(shí),Vn()k是收斂的,且其極限值()V k=limn→!Vn()k就是無(wú)窮序列的唯一解。也就是說(shuō),得到的函數(shù)方程與式(4)的猜測(cè)完全符合。可以解出E=11-βln (1-)βA+1-[(δ)]+β1-(β)2lnβA+1-[(δ)],F=11-β。將E和F代入式(4)可得到函數(shù)方程(3)的具體表達(dá)式和相應(yīng)的策略函數(shù):()V k=11-βln (1-)βA+1-[(δ)]+β1-(β)2lnβA+1-[(δ)]+11-β()ln k(9)g(k)=βA+1-(δ)k(10)式(9)也就是式(1)的解。對(duì)于任意給定的k0>0,值函數(shù)()V k采用策略k'=g(k)=βA+1-(δ)k恒可取得最優(yōu)值。回到式(1)的離散形式,對(duì)任意時(shí)期t(t≥0),當(dāng)資本存量按策略kt+1=βA+1-(δ)kt逐步演變時(shí),式(1)必定取得最優(yōu)解。相應(yīng)地,ct=1-(β)A+1-(δ)kt。綜上所述,可得式(1)的最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列ct,k{t+1}!t=0為:ct=1-(β)A+1-(δ)ktkt+1=βA+1-(δ)k???睿簦ǎ保保┐郵劍ǎ保保┛梢鑰闖觶鶴時(shí)菊劬陜?delta;和當(dāng)期消費(fèi)ct以及下期資本kt+1負(fù)相關(guān)。資本折舊率反映了資本的使用成本,折舊率越大,資本越少,收入越少,可供消費(fèi)也越少。對(duì)資本的良好維護(hù),可以降低資本折舊率。宏觀政策能改變折舊率,比如政府推出投資刺激政策,會(huì)使維護(hù)既有資本的成本高于重新投資,從而提高資本折舊率;再如,高利率增加貸款成本,導(dǎo)致生產(chǎn)者更傾向于用廉價(jià)原材料,產(chǎn)品耐用度降低,資本折舊率提高。貼現(xiàn)因子β和當(dāng)期消費(fèi)ct負(fù)相關(guān),和下期資本kt+1正相關(guān)。貼現(xiàn)因子反映了資產(chǎn)預(yù)期總收入超出當(dāng)期總收入的部分折現(xiàn)到當(dāng)期末的值。貼現(xiàn)因子越小,代表性行為人越傾向于當(dāng)期消費(fèi)ct;貼現(xiàn)因子越大,代表性行為人越希望把消費(fèi)推遲到將來(lái)。貼現(xiàn)因子是隨機(jī)的、主觀的,受真實(shí)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展變化的影響,可以通過(guò)宏觀經(jīng)濟(jì)政策引導(dǎo)貼現(xiàn)因子變化。比如福利保障制度可以提高當(dāng)期消費(fèi)者的信心,而提高利率會(huì)導(dǎo)致人們推遲當(dāng)期消費(fèi)。α=1時(shí),AK模型y=Akαt的資本增長(zhǎng)率kt+1kt=βA+1-(δ)更大,而且資本不收斂。0<α<1時(shí)[1 7],AK模型y=Akαt的資本增長(zhǎng)率kt+1kt=αβAkα-1t更小,而且資本收斂。另外,根據(jù)方程(1)最優(yōu)解的一階必要條件可以斷定,當(dāng)且僅當(dāng)ct+kt+1=Dkγt(D為常數(shù),γ是大于零的任意實(shí)數(shù))的形式時(shí),即ct+kt+1必須與kγt成正比關(guān)系,AK模型才可能求出顯式的最優(yōu)解。其他學(xué)者在研究包含資本折舊的AK模型時(shí),要么生產(chǎn)函數(shù)是線性的(即y=Ak),而資本折舊是非線性的;要么生產(chǎn)函數(shù)是指數(shù)形式的(即y=Akα),但資本折舊是線性的;或者假設(shè)勞動(dòng)是彈性供應(yīng)的(即y=Akαn1-α)。諸如此類模型,它們所對(duì)應(yīng)的消費(fèi)、資本累積之和ct+kt+1必定不能表示為kγt(其中γ>0)的正相關(guān)函數(shù),因此無(wú)論采用序列推導(dǎo)法或貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃的解法或其他方法,都不可能得到最優(yōu)解的顯式解析表達(dá)式,他們一般采用數(shù)值解法求解最優(yōu)的消費(fèi)和資本積累路徑。(三)變量對(duì)值函數(shù)的影響前文定義值函數(shù)()V k為投資者在給定財(cái)富下,所能達(dá)到的終身期望總效用,以下討論貼現(xiàn)因子β、資本折舊率δ、消費(fèi)c、資本存量k對(duì)值函數(shù)()V k的影響。為方便討論參數(shù)β、δ、k的意義,將V(k)記為V(β,δ,k),即:Vβ,δ,()k=11-βln (1-)βA+1-[(δ)]+β1-(β)2lnβA+1-[(δ)]+11-β()ln k(12)由式(12)可以發(fā)現(xiàn):1.可以證明?Vβ,δ,()k?β>0對(duì)于β0≤β(≤1)恒成立,所以Vβ,δ,()k是β的單調(diào)增函數(shù),即值函數(shù)()V k隨著貼現(xiàn)因子β的增大而增大。而由式(1)也易知,貼現(xiàn)因子β越大,消費(fèi)的效用就越大。2.由?Vβ,δ,()k?δ<0可知,值函數(shù)Vβ,δ,()k隨著資本折舊率δ的增加而減小,也就是說(shuō),資本折舊率越高,消費(fèi)總效用就越小。關(guān)于宏觀經(jīng)濟(jì)政策對(duì)資本折舊率和貼現(xiàn)率的影響,可參考公式(11)對(duì)最優(yōu)消費(fèi)、資本累積序列的分析。3.由?Vβ,δ,()k?k>0可知,值函數(shù)Vβ,δ,()k隨著資本存量k的增加而增加。資本存量k越大,可用于生產(chǎn)的投資就越多,從而可供未來(lái)消費(fèi)的也就越多(即消費(fèi)c越大),因此終生消費(fèi)的總效用值就越大。另外,根據(jù)式(1)的假設(shè),消費(fèi)越大,消費(fèi)效用也就越大,但是由于所有的生產(chǎn)恰好被消費(fèi)與投資全部劃分,即ct+kt+1=const是常數(shù),若t期的消費(fèi)占收入比率過(guò)大,則可用于下期的資本就少,下期消費(fèi)也減少,所以應(yīng)該合理地安排消費(fèi)-投資比率。政府可以用貼現(xiàn)因子、折舊率和技術(shù)進(jìn)步率等政策引導(dǎo)消費(fèi)-投資比率。

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