大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)方法的實(shí)踐與探討

　　隨著大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程的日益普遍，預(yù)計(jì)該課程將逐漸成為與理工科、商科《高等數(shù)學(xué)》同等重要的課程類別，對文科數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的討論與實(shí)踐，將對該課程教學(xué)研究與實(shí)踐的發(fā)展成熟起到必要的推動作用。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐對大學(xué)文科數(shù)學(xué)的教學(xué)方法與課程設(shè)計(jì)進(jìn)行初步探討。

　　《中國人民大學(xué)學(xué)報(bào)》(雙月刊)創(chuàng)刊于1987年，由中國人民大學(xué)主辦。該刊一貫堅(jiān)持解放思想、實(shí)事求是，倡導(dǎo)理論創(chuàng)新和學(xué)術(shù)創(chuàng)新，努力做到思想性與學(xué)術(shù)性的統(tǒng)一、理論性與實(shí)踐性的統(tǒng)一。

　　關(guān)鍵詞：大學(xué)文科數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思維 教學(xué)方法 教學(xué)實(shí)踐

　　中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-1578(2019)06-0018-02

　　本世紀(jì)以來，國內(nèi)越來越多的高校文科專業(yè)開始開設(shè)高等數(shù)學(xué)課程。至今，文科數(shù)學(xué)已普遍占據(jù)高校高等數(shù)學(xué)教學(xué)的相當(dāng)比例，成為大學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要組成部分。相應(yīng)地，該類課程教材的編寫與教學(xué)方法的研究也逐漸成為熱點(diǎn)。筆者結(jié)合四年以來在文科專業(yè)的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對大學(xué)文科數(shù)學(xué)的課程設(shè)計(jì)及教學(xué)方法進(jìn)行以下探討。

　　1 學(xué)生特點(diǎn)與教學(xué)目標(biāo)

　　首先，相對于理工、經(jīng)濟(jì)、管理等學(xué)科的學(xué)生，文科專業(yè)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有以下特點(diǎn)：

　　(1)無法從本專業(yè)渠道了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)代生活中的應(yīng)用。新生在初進(jìn)高校時(shí)普遍對數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用不甚了解，但理工商科的學(xué)生很快可以從自己所學(xué)專業(yè)獲得足夠的信息，了解到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，而文科專業(yè)的學(xué)生若對數(shù)學(xué)沒有太多興趣，很難再接觸到這方面的內(nèi)容。

　　(2)對是否應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)文科數(shù)學(xué)課程有不同的看法。在筆者四年多的教學(xué)實(shí)踐中，大部分同學(xué)對文科數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)持正面評價(jià)，如普遍感到在邏輯思維、推理等能力的訓(xùn)練上有較大的收益，但也有部分同學(xué)雖然對老師的教學(xué)有不錯(cuò)的評價(jià)，但認(rèn)為該課程對個(gè)人專業(yè)發(fā)展并無太大必要，從而學(xué)習(xí)缺乏興趣和足夠的動力。

　　(3)對數(shù)學(xué)的掌握程度差距較大。文科生中有一定比例的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好、對數(shù)學(xué)比較感興趣的同學(xué)，但亦有相當(dāng)一部分同學(xué)由于中學(xué)階段的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有畏懼的心理。

　　以上特點(diǎn)也從其它高校的調(diào)查研究結(jié)果中得到驗(yàn)證[1，2]。

　　作為首屆“國家級教學(xué)名師”，南開大學(xué)的顧沛教授曾總結(jié)過文科教學(xué)的教學(xué)目標(biāo)[3]：(1) 掌握必要的數(shù)學(xué)工具;(2) 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化;(3)培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維方式;(4)培養(yǎng)數(shù)學(xué)審美;(5)為終身學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)。

　　基于以上學(xué)生特點(diǎn)和教學(xué)目標(biāo)，筆者在編制教學(xué)計(jì)劃時(shí)，主要遵循以下原則：(1) 因材施教;(2)加強(qiáng)對數(shù)學(xué)應(yīng)用、課程價(jià)值的介紹;(3)重視基本概念、基本方法及關(guān)鍵性思想的講解，不片面追求解題難度;(4)講解內(nèi)容應(yīng)具有可擴(kuò)展性，幫助學(xué)生深入探索感興趣的知識和應(yīng)用。

　　2 課程設(shè)計(jì)與教學(xué)方法的思路

　　2.1 課程介紹

　　目標(biāo)是使同學(xué)們認(rèn)識到數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中及對個(gè)人發(fā)展的重要性，從而提高學(xué)習(xí)興趣。主要分為以下兩個(gè)部分：

　　2.1.1 舉例說明現(xiàn)代數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用

　　該部分雖然并非課程考核的內(nèi)容，但通過對數(shù)學(xué)應(yīng)用的介紹，可以使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的重要性，對整個(gè)課程建立良好的第一印象。對于實(shí)例的選取應(yīng)注意到三個(gè)方面，即前沿性、貼近生活以及容易理解接受。筆者在實(shí)際教學(xué)中選取了以下幾個(gè)例子：

　　(1)數(shù)論與密碼學(xué)，從網(wǎng)絡(luò)購物中個(gè)人信息的加密問題開始，介紹RSA密碼、費(fèi)馬定理的基本內(nèi)容和相關(guān)趣聞，最后引出黎曼猜想等理論對于網(wǎng)絡(luò)空間安全的影響。

　　(2)商品推薦問題，從“尿布與啤酒”的經(jīng)典案例說起，引導(dǎo)學(xué)生討論淘寶、京東的推薦系統(tǒng)，然后引出機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)問題的介紹。

　　(3)以音頻文件的存儲問題開始，從線性方程組的角度，依次介紹取點(diǎn)法、傅里葉分析、小波分析，然后到稀疏解問題，解釋這些研究對音頻、圖像、視頻文件的處理的巨大推動作用。從教學(xué)效果來看，學(xué)生普遍對這些實(shí)例產(chǎn)生濃厚的興趣，聽課過程中保持了高度的注意力。

　　2.1.2 通過實(shí)例側(cè)面介紹本課程的作用

　　在上一部分內(nèi)容引發(fā)學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上，老師可主動提出學(xué)生可能會注意到的問題：雖然現(xiàn)代數(shù)學(xué)的應(yīng)用既重要又廣泛，但文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么意義呢?這個(gè)問題很多名師都有過很好的回答，但如果簡單照搬的話可能無法給學(xué)生直觀的認(rèn)識，因此，筆者也通過一些實(shí)例來進(jìn)行說明，如：

　　(1)利用“歐拉、狄德羅的辯論”的例子，說明對不了解的知識的排斥、懼怕心理可能會導(dǎo)致在簡單障礙面前的退縮，然后回顧數(shù)論與密碼學(xué)的例子說明數(shù)學(xué)理論常常會比應(yīng)用超前，進(jìn)而說明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對未來學(xué)習(xí)、工作的潛在幫助。

　　(2)利用一些新聞如“我國每年約有20億人死于不良輸液反應(yīng)”及該新聞獲得的評論來說明即使是大家都明白的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤，也會使大家的關(guān)注點(diǎn)完全偏離文章主要內(nèi)容，而這些錯(cuò)誤的避免并不在于知識的掌握，而在于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時(shí)所進(jìn)行的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、思維方式的訓(xùn)練。

　　(3)利用“瓦爾德與失蹤的彈孔”的例子說明數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)素養(yǎng)對思考問題的幫助。

　　這些實(shí)例可以從側(cè)面幫助學(xué)生理解本課程對于個(gè)人能力與綜合素質(zhì)的提升所具有的意義。

　　2.2 課程設(shè)計(jì)的技巧

　　2.2.1 基本內(nèi)容與可擴(kuò)展性的結(jié)合

　　在具體教學(xué)中，考慮到學(xué)生特點(diǎn)，重視基本概念、基本計(jì)算及應(yīng)用的講解，忽略復(fù)雜的計(jì)算和特殊的技巧，保證大部分同學(xué)都能掌握。對復(fù)雜或不易理解的重要內(nèi)容，盡可能細(xì)化分類，如極限部分將例題分為利用初等函數(shù)性質(zhì)、利用四則運(yùn)算法則、利用分式化簡、利用根式差的有理化、利用兩個(gè)重要極限等情形依次講解，在講第一換元積分法時(shí)，先充分講解、練習(xí)線性換元，然后再介紹多項(xiàng)式換元，最后過渡到一般的換元情形。在基本內(nèi)容熟練的基礎(chǔ)上，每一階段內(nèi)容在做小結(jié)的時(shí)候，適當(dāng)提及更進(jìn)一步的內(nèi)容、相關(guān)的數(shù)學(xué)問題及其實(shí)際應(yīng)用，方便有興趣的同學(xué)在課下做進(jìn)階閱讀及學(xué)習(xí)。 　　2.2.2 適當(dāng)運(yùn)用類比以幫助理解

　　由于課時(shí)、難度的限制，課程中很多定理無法講解證明，因此，引入一些思路相似的簡單例子可以在一定程度上彌補(bǔ)省略證明的不足。如在講洛必達(dá)法則時(shí)，將全班分成兩組，假設(shè)全班共同開公司，剛開始一段時(shí)間的分紅只給甲組，然后以后每次分紅乙組都是甲組的兩倍，則在遙遠(yuǎn)的將來，乙組得到的分紅將趨向于甲組的兩倍，最后總結(jié)兩者的共同點(diǎn)：增長率比值的趨勢確定了總體比值的趨勢。

　　2.2.3 結(jié)合實(shí)際生活擴(kuò)展舉例

　　對于一些與實(shí)際生活聯(lián)系緊密的例題，講解時(shí)可以不局限于題目的解答，而是結(jié)合實(shí)際擴(kuò)展介紹其應(yīng)用。如在講解完函數(shù)極限后，將連續(xù)復(fù)利作為例題，總結(jié)影響最后還款額的兩個(gè)主要因素：時(shí)間與利率，然后討論校園貸、回租貸問題，當(dāng)場從網(wǎng)上搜索例子，然后利用連續(xù)復(fù)利估算，當(dāng)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)剝離騙局中的誤導(dǎo)信息，計(jì)算出一年的還款額可達(dá)借款的幾萬、甚至幾十萬倍時(shí)，都會忍不住發(fā)出驚嘆的聲音。

　　2.2.4適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)史

　　很多教學(xué)研究都探討了在講解中加入數(shù)學(xué)史對增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣等方面的有效幫助[4-8]。事實(shí)上，數(shù)學(xué)史中還有更多的有益信息值得挖掘。如：

　　(1)借助數(shù)學(xué)家的人生得失，如牛頓晚年耗費(fèi)精力于神學(xué)研究及無益的爭論，引發(fā)學(xué)生對個(gè)人規(guī)劃和發(fā)展的思考。

　　(2)借助微積分發(fā)明人之爭后英國與歐洲大陸數(shù)學(xué)界學(xué)術(shù)交流的停滯對英國數(shù)學(xué)的影響，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)交流思想的重要性。

　　(3)借助萊布尼茨對各國科學(xué)院建設(shè)的推動及科學(xué)院建設(shè)對各國工業(yè)發(fā)展的影響，康熙對萊布尼茨建議的忽視及對中國近代史的影響等，引發(fā)決策者的科學(xué)素養(yǎng)對企業(yè)、行業(yè)、國家發(fā)展的影響的思考，幫助學(xué)生認(rèn)識到培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性。

　　2.3 課程考試

　　改革考核形式也是大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程改革常常提到的一個(gè)要點(diǎn)，很多研究者們探討了讀書報(bào)告、半開卷、概念題及弱化解題技巧等考核思路[1，2，9，10]。筆者在教學(xué)過程中嘗試了以下考核方式：

　　2.3.1 平時(shí)成績的考核方式--課堂測驗(yàn)與讀書報(bào)告

　　課堂上不定期進(jìn)行5-10分鐘測驗(yàn)，測驗(yàn)題目弱化解題技巧與計(jì)算能力，重視學(xué)生對解題過程的掌握。在學(xué)期內(nèi)布置一定的選題，如數(shù)學(xué)家傳記、數(shù)學(xué)專題等，供學(xué)生發(fā)揮自己的總結(jié)、文字能力，同時(shí)也通過報(bào)告加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的基本概念和原理方法的理解。

　　2.3.2 期末考試題目的設(shè)定

　　計(jì)算、證明性的題目同樣強(qiáng)調(diào)對基本概念、基本解題思路的考核。除此之外，結(jié)合學(xué)生的專業(yè)及學(xué)習(xí)特點(diǎn)，適當(dāng)設(shè)定讀圖題、論述題增加發(fā)揮空間。讀圖題可以考察學(xué)生對概念的形象理解，如極限、連續(xù)性、可導(dǎo)性、積分的幾何意義等。論述題可以結(jié)合數(shù)學(xué)概念的形象理解、數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用、學(xué)生專業(yè)等進(jìn)行設(shè)定，如《尋隱者不遇》中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，結(jié)合連續(xù)復(fù)利公式討論個(gè)人信貸管理，及針對法學(xué)院、知識產(chǎn)權(quán)學(xué)院學(xué)生的，由笛卡爾、費(fèi)馬、萊布尼茨等數(shù)學(xué)家的法學(xué)背景討論法學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系，線性方程組消元法的知識產(chǎn)權(quán)應(yīng)屬于高斯等數(shù)學(xué)家還是《九章算術(shù)》的不知名作者等。最后，考慮到部分學(xué)習(xí)成績較好、對數(shù)學(xué)比較有興趣的同學(xué)，試卷中也會出一道技巧較多的趣味題目作為補(bǔ)充。

　　3 結(jié)語

　　隨著大學(xué)文科數(shù)學(xué)課程的日益普遍，預(yù)計(jì)該課程將逐漸成為與理工科、商科《高等數(shù)學(xué)》同等重要的課程類別，對文科數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)的討論與實(shí)踐，將對該課程教學(xué)研究與實(shí)踐的發(fā)展成熟起到必要的推動作用。幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，由于精心進(jìn)行了相關(guān)課程設(shè)計(jì)，不斷改善教學(xué)方法，廣泛吸取國內(nèi)同行的經(jīng)驗(yàn)，較好的提高了我校文科學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣與熱情，所授課程在每學(xué)期課程評估中一直位居學(xué)院全部課程的前10%。筆者也希望通過本文拋磚引玉，繼續(xù)學(xué)習(xí)、討論教學(xué)方法，提升自己的教學(xué)能力與水平，為提高我校文科高等數(shù)學(xué)教學(xué)水平做出新貢獻(xiàn)。

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