教育核心期刊淺析曲面上曲率線與測地線的算法

　　本篇文章是由《教育探索》發(fā)表的一篇教育論文，1981年創(chuàng)刊，主辦(主管)單位，黑龍江省教育科學研究院。以宣傳普通教育、職業(yè)教育、成人教育和學前教育為重點。讀者對象為中小學校長、教師、教育行政領導、教育研究部門科研人員等。

　　摘 要 本文首先給出了曲率線和測地線的基本概念和幾何性質(zhì)，揭示了曲率線和測地線之間的關系，以計算不同曲面的曲率線和測地線來分析其積分算法，為深入研究NURBS曲面上曲率線和測地線的積分算法奠定了一定基礎。

　　關鍵詞 曲率線 測地線 曲率 積分 NURBS曲面

　　1 曲率線和測地線的基本概念

　　1.1 曲率線

　　曲面上一點的兩個方向，如果它們既正交又共軛，則稱為曲面在點的主方向。

　　設這兩個方向是() = ：，() = ：，由于正交性，，即 + ( + ) + = 0。

　　曲率線：曲面上的一條曲線，如果其上每一點的切向正好時曲面在該點的主方向，這條曲線就是曲率線。

　　由定義可知，對于已給曲面 = ()上的曲率線由

　　或者微分方程

　　() + () + () = 0

　　(1.1)

　　決定，這方程確定了曲面上兩族曲率線，組成曲面上的曲率線網(wǎng)。

　　其中 (1.2)

　　是曲面 = ()的第一基本量，

　　是曲面 = ()的第二基本量。

　　1.2 測地線

　　給出一個曲面：，()是曲面上的一條曲線：

　　其中是()的自然參數(shù)。設是()上一點，是()在點的單位切向量，是主法向量，是副法向量。再設是曲面在點的單位法向量，€%z是與的夾角，則曲面在點的切方向上的法曲率是。

　　命，則是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成右手系。

　　曲線()在點的曲率向量在上的投影，

　　，稱為曲線在點的測地曲率。

　　曲面上的一條曲線，如果它的每一點處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是

　　2 曲率線與測地線的幾何性質(zhì)

　　2.1 曲率線的幾何性質(zhì)

　　定理1 曲面上一曲率線為平面曲線的充要條件是沿€%<的法線曲面為柱面。

　　證明：設，€%< ： = ()， = ()(為的弧長)，

　　則沿€%<的法線曲面方程為：。

　　因為柱面的充要條件是，即常矢，有，所以。即€%<為平面曲線。

　　定理2 若沿曲率線€%<的發(fā)現(xiàn)曲面1是一條曲線€%<1的切線曲面，則€%<1的方程為：，其中()為在點處的主曲率。

　　證明：因為1是€%<1的切線曲面，所以

　　€%<11，又1是沿€%<的法線曲面，所以€%<1，且于是存在一數(shù)量函數(shù)()使。

　　對求導，

　　而，所以

　　由于，所以 = 0，即= 1 /

　　故。

　　2.2 測地線的幾何性質(zhì)

　　曲面上的一條曲線，如果它的每一點處的測地曲率為零，則稱該曲線為測地線。測地線的微分方程是：

　　曲面上上的坐標網(wǎng)為正交網(wǎng)時，曲面上測地線方程為：

　　由于曲面上的法曲率和側(cè)地撓率等有關概念都是由曲面在中的形狀決定的，所以漸近線和曲率線等有關概念都不是曲面上內(nèi)蘊幾何的概念，但是測地曲率是曲面在保長變換下的不變的量，所以測地曲率 = 0的曲線是內(nèi)蘊幾何的概念。

　　2.3 測地線的存在性

　　由測地線的定義，我們可以知道，平面曲線的測地曲率就是它的相對曲率，所以平面上的測地線就是直線。測地線的概念是平面上的直線的概念在曲面上的推廣，下面我們就來說明這種推廣的含義。

　　曲面上一條去現(xiàn)實測地線，當且僅當它是直線，或者它的主法向量處處是曲面的法向量。

　　證明：我們知道其中是曲線的次法向量和曲面的法向量的夾角由此可見 = 0的條件是 = 0或者。若 ≡ 0，則該曲線是直線，若≠0則，于是即曲線的主法向量是曲面的法向量。現(xiàn)在我們考慮測地線的微分方程。由學過的知識我們可知。

　　因此≡0的充要條件是

　　(1)

　　這就是測地線所滿足的微分方程。

　　若引進新的未知函數(shù)，則方程組(1)便降價成為一階常微分方程組：

　　這是擬線性常微分方程組，根據(jù)常微分方程組的理論，對于任意給定的初值，必有>0，使得方程組上述方程組有定義在區(qū)間(-，)上的唯一解 = ，滿足初條件

　　如果初值(，)滿足條件 (，) = 1

　　則上面給出的解 = 是曲面上以為弧長參數(shù)的一條曲線。實際上，如果命= (，)

　　則

　　并且 (0)≡0，所以 ≡0

　　即是曲線 = 的弧長參數(shù)。

　　3 曲面上曲率線與測地線的積分算法

　　3.1 曲面上的曲率線求法

　　3.1.1 雙曲面的曲率線

　　我們對雙曲面 = 進行積分算法求出曲率線

　　= ， = ， = ， = 0， = ， = 0， = 1 + = 1 + ， = = ， = 1 + ， = 0， = 0。

　　曲率線的微分方程為

　　化簡得 = 積分得

　　即

　　故所求曲率線為

　　3.1.2 螺旋面的曲率線

　　螺旋面上的曲率線

　　由題可知 = 1， = 0， = + ， = 0，， = 0，

　　曲率線的微分方程為，

　　即 + ( + ) = 0，化簡得，積分得即

　　故所求曲率線為

　　3.2 曲面上的測地線求法

　　3.2.1 NURBS曲面上測地線算法

　　曲面上的曲線C可以用參數(shù)方程

　　來表示，這里的是曲線參數(shù)。弧長的微分形式如下：

　　= + 2 +

　　于是曲面上一條曲線的長度可知，為

　　(1.4)

　　這里、是參數(shù)、分別對的偏導。，，是曲面的第一基本量

　　，是曲面對參數(shù)、的偏導數(shù)。

　　在局部范圍內(nèi)，測地線是連接兩點曲線中弧長最短的曲線。尋找一條曲線，構(gòu)造，，使得(1.4)式中的L最小。這樣我們就得到了一條測地線。函數(shù)，應該滿足

　　(1.5)

　　這里

　　上式中我們選擇弧長s作為參數(shù)，(1.5)式可由以下一對非線性微分方程的形式表達

　　其中

　　式中是曲面在點(u，v)的單位法向量

　　是曲面方程對，的二次混合偏導，測地線軌跡可用以下四個一次微分方程

　　在過點(，)以及有初切向的初始條件下，通過Rung-Kutta法迭代求出唯一解，給定曲面上一點和方向，通過自適應迭代步長的選擇，可自動求解出一條測地線。

　　3.2.2 求圓柱面的測地線

　　解：在圓柱面

　　= + ，測地線的方程量： = 0， = ， =

　　故 = + ，為常數(shù)，為積分常數(shù)，對應的向量式參數(shù)方程量。

　　3.2.3 求球面上的測地線

　　解：對于半徑為的球面上的大圓弧，熟知： = ，法曲率 = €?，于是測地曲率 = €?= 0，從而球面上的大圓弧是測地線。

　　參考文獻

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